Zahlensystem-Umrechner

So funktioniert es

Schreiben Sie eine Zahl pro Zeile; die Ausgabe behält die Reihenfolge bei. Steht die Eingabebasis auf automatisch, entscheidet das Präfix: eine Zeile mit 0x wird hexadezimal gelesen, mit 0b binär, mit 0o oktal. Ohne Präfix gilt eine Zeile als hexadezimal, sobald sie die Buchstaben a bis f enthält. Eine Zeile ohne Präfix, die nur aus 0 und 1 besteht, passt in beide Systeme — angenommen wird dezimal, und der Hinweis unter der Ausgabe nennt die Zahl der mehrdeutigen Zeilen. Wenn Sie diese Unsicherheit nicht wollen, wählen Sie die Eingabebasis in der Liste aus; dann wird kein Präfix mehr gesucht. Leerzeichen und Unterstriche innerhalb einer Zahl werden übergangen, 1010_1010 und FF FF sind also so lesbar, wie Sie sie schreiben. Steht die Ausgabebasis auf alle vier, erscheint jeder Wert mit eigenem Präfix und hexadezimal in Großbuchstaben; Sie müssen keine Stellen zählen, um zu erkennen, welches System Sie vor sich haben. Gerechnet wird ausschließlich mit ganzen Zahlen: negative Werte und Nachkommastellen werden nicht umgerechnet, sondern in der Ausgabe gekennzeichnet.

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Was ist Binärsystem (Basis 2)?

Das Binärsystem, im Deutschen auch Dualsystem genannt, schreibt Zahlen ausschließlich mit den Ziffern 0 und 1. Jede Stelle steht, von rechts gelesen, für eine steigende Zweierpotenz: 1011 bedeutet 8 + 0 + 2 + 1, also elf. Der Grund für seine Rolle in der Technik liegt in der Hardware — in einer Schaltung fließt Strom entweder oder er fließt nicht, ein Zustand dazwischen ist nicht vorgesehen. Der große Nachteil ist die Länge: eine gewöhnliche Zahl zieht sich über viele Stellen, weshalb dieselben Daten für Menschen meist hexadezimal dargestellt werden.

Was ist Hexadezimalsystem (Basis 16)?

Das Hexadezimalsystem rechnet zur Basis 16: nach den Ziffern 0 bis 9 stehen die Buchstaben A, B, C, D, E und F für die Werte zehn bis fünfzehn. Verbreitet ist es wegen seines glatten Verhältnisses zum Binärsystem — eine hexadezimale Stelle entspricht genau vier Binärstellen, die Umrechnung ist deshalb Einsetzen statt Rechnen. Aus diesem Grund werden Farbcodes, Speicheradressen, Hashwerte und Byte-Auszüge hexadezimal geschrieben: kompakt genug zum Lesen und trotzdem passgenau zu den zugrunde liegenden Bits.

Wo wird das Oktalsystem heute noch verwendet?

Das Oktalsystem (Basis 8) begegnet Ihnen deutlich seltener als das Hexadezimalsystem, verschwunden ist es aber nicht. Am bekanntesten sind die Dateirechte unter Unix und Linux: in einem dreistelligen Code wie 755 oder 644 trägt jede Stelle die Rechte zum Lesen, Schreiben und Ausführen als drei Binärstellen — genau so viel, wie eine Oktalziffer fasst, weshalb die Schreibweise hier perfekt passt. Das Präfix 0o in Programmiersprachen stammt aus derselben Tradition, ebenso die ältere Gewohnheit, Oktalzahlen mit einer führenden Null zu kennzeichnen. Das Hexadezimalsystem arbeitet dagegen in Vierergruppen, die sich sauber zu einem Byte fügen, und beherrscht deshalb alles, was in Bytes gemessen wird.

Warum lange Zahlen hier heil bleiben

Der übliche Zahlentyp eines Browsers kann ganze Zahlen oberhalb von 2 hoch 53 (9.007.199.254.740.992) nicht mehr genau halten; jenseits dieser Grenze werden die hinteren Stellen stillschweigend gerundet. Deshalb kommt eine 64-Bit-Kennnummer oder ein langer hexadezimaler Stempel aus vielen Umrechnern mit falschen Endziffern zurück, ohne dass irgendetwas darauf hinweist.

Dieses Werkzeug baut jeden Wert Stelle für Stelle mit exakter Ganzzahl-Arithmetik auf, das Ergebnis stimmt also auch oberhalb der Grenze. Die Zeile 9007199254740993 im Beispiel steht genau dafür da: die letzte Stelle überlebt den Weg hin und zurück. Wie viele Stellen Sie einfügen, spielt keine Rolle.

Was die Präfixe bedeuten

Dieselbe Ziffernfolge bedeutet in verschiedenen Systemen verschiedene Zahlen: 101 ist binär fünf und dezimal hunderteins. Programmiersprachen kennzeichnen die Basis mit einem Präfix, um genau diese Verwechslung auszuschließen.

Die Ausgabe verwendet dieselben Präfixe, denn einen Wert ohne Angabe der Basis zu kopieren und anderswo einzufügen ist die leiseste Fehlerquelle überhaupt. Die Ausnahme ist dezimal: das steht ohne Präfix da, weil es ohnehin jeder so liest.

• 0b → binär, nur die Ziffern 0 und 1
• 0o → oktal, die Ziffern 0 bis 7
• 0x → hexadezimal, Ziffern 0-9 und Buchstaben A-F
• ohne Präfix → dezimal, die alltägliche Schreibweise

Häufige Fragen

Wie rechne ich eine Binärzahl in eine Dezimalzahl um?

Schreiben Sie die Zahl mit dem Präfix 0b, also etwa 0b1011, oder stellen Sie die Eingabebasis auf 2. Der dezimale Wert steht in derselben Zeile, eine ganze Spalte lässt sich so in einem Durchgang umrechnen.

Kann ich Hexadezimal in Dezimal umrechnen?

Ja. Schreiben Sie den Wert mit Präfix als 0xFF oder schlicht als FF; die Buchstaben weisen ihn als hexadezimal aus, der dezimale Wert steht daneben.

Stimmen sehr große Zahlen?

Ja. Die Umrechnung läuft mit exakter Ganzzahl-Arithmetik, Werte oberhalb der Grenze von 2 hoch 53 behalten daher ihre hinteren Stellen und werden nicht gerundet.

Kann ich negative Zahlen oder Kommazahlen umrechnen?

Nein. Dieses Werkzeug arbeitet nur mit positiven ganzen Zahlen. Eine Zeile mit Minuszeichen, Komma oder Punkt wird in der Ausgabe gekennzeichnet statt umgerechnet, damit Sie sehen, dass sie übergangen wurde.

Wie rechne ich eine Binärzahl in Hexadezimal um?

Fassen Sie die Binärziffern von rechts in Vierergruppen zusammen und ersetzen Sie jede Gruppe durch eine Hexadezimalziffer: 1011 0110 wird zu B6, weil 1011 = 11 = B und 0110 = 6 ist. Fehlende Stellen links füllen Sie mit Nullen auf. In diesem Werkzeug wählen Sie als Eingabebasis „2 — binär“ und als Ausgabebasis „16 — hexadezimal“; eine Zahl pro Zeile, das Ergebnis erscheint zeilenweise daneben.